附錄 02：統計機率分布函數

系統性記憶

R 語言有一系列的函數可以幫使用者產出不同機率分布的數值、機率值或特定值，這一系列函數的外觀很相似，是四個英文字母與機率分布名稱的排列組合，因此在一一展示之前我們先將英文字母與機率分布名稱拆開成兩個表讓讀者可以更有系統性地瞭解這些函數：

英文字母的部分：

機率分布的部分：

上表的每個英文字母都可以下表的機率分布組合，像是 d 加上 unif 的 dunif() 函數就是回傳均勻分布的密度值；因此我們有 4X5 共 20 組靈活的函數能夠應用。

均勻分布

預設均勻分布的最小值為 0，最大值為 1，如果想要調整可以分別修改 min 參數與 max 參數。

dunif() 函數

回傳均勻分布的機率密度值：

> x <- seq(from = -1, to = 2, by = 0.01)
> y <- dunif(x)
> plot(x, y, type = "l", ylab = "Density")

punif() 函數

回傳對應輸入的均勻分布累積機率值：

> punif(0.9)
[1] 0.9

qunif() 函數

回傳對應累積機率值的均勻分布輸入：

> qunif(0.9)
[1] 0.9

runif() 函數

回傳 n 個符合均勻分布的隨機值：

> x <- runif(1000)
> hist(x, ylab = "Frequency")

常態分佈

預設常態分布為標準常態分布，平均值為 0，標準差為 1，如果想要調整可以分別修改 mean 參數與 sd 參數。

dnorm() 函數

回傳常態分布的機率密度值：

> x <- seq(from = -3, to = 3, by = 0.01)
> y <- dnorm(x)
> plot(x, y, type = "l", ylab = "Density")

pnorm() 函數

回傳對應輸入的常態分布累積機率值：

> pnorm(1.96)
[1] 0.9750021

qnorm() 函數

回傳對應累積機率值的常態分布輸入：

> qnorm(0.975)
[1] 1.959964

rnorm() 函數

回傳 n 個符合常態分布的隨機值：

> x <- rnorm(1000)
> hist(x, ylab = "Frequency")

二項式分布

二項式分布可以簡單想像成投擲銅板的結果，size 參數代表投擲的次數，prob 參數則代表銅板正面（Head）的機率，一枚公正硬幣意指的就是 prob = 0.5。

dbinom() 函數

回傳投擲一枚公正硬幣 100 次，出現 0 到 100 次正面的機率分布：

> x <- 0:100
> y <- dbinom(x, size = 100, prob = 0.5) 
> plot(x, y, type = "l", ylab = "Probability")

我們比較三枚硬幣：公正硬幣、擲出正面的機率是 0.7 的硬幣與擲出正面的機率是 0.3 的硬幣，那麼投擲這三枚硬幣 100 次，出現 0 到 100 次正面的機率分布分別是：

> x <- 0:100
> y1 <- dbinom(x, size = 100, prob = 0.5)
> y2 <- dbinom(x, size = 100, prob = 0.7)
> y3 <- dbinom(x, size = 100, prob = 0.3)
> plot(x, y1, type = "l", ylab = "Probability", ylim = c(0, max(y1, y2, y3)))
> lines(y2, col = "red")
> lines(y3, col = "green")

pbinom() 函數

回傳對應輸入的二項式分布累積機率值：

> pbinom(50, size = 100, prob = 0.5)
[1] 0.5397946

qbinom() 函數

回傳對應累積機率值的二項式分布輸入：

> qbinom(0.53, size = 100, prob = 0.5)
[1] 50

rbinom() 函數

回傳 n 個符合二項式分布的隨機值：

> x <- rbinom(1000, size = 100, prob = 0.5)
> hist(x, ylab = "Frequency")

Poisson 分布

Poisson 分布是單位時間內某特定事件發生次數的機率分布，因此在呼叫函數時必須要指定單位時間參數 lambda。

dpois() 函數

回傳單位時間 4 以內某特定事件沒有發生到發生 20 次的機率分布：

> x <- 0:20
> y <- dpois(x, lambda = 4)
> plot(x, y, type = "l", ylab = "Probability")

ppois() 函數

回傳對應輸入的 Poisson 分布累積機率值：

> ppois(4, lambda = 4)
[1] 0.6288369

qpois() 函數

回傳對應累積機率值的 Poisson 分布輸入：

> qpois(0.62, lambda = 4)
[1] 4

rpois() 函數

回傳 n 個符合 Poisson 分布的隨機值：

> x <- rpois(1000, lambda = 4)
> hist(x, ylab = "Frequency")

卡方分布

在呼叫函數時必須要指定自由度參數 df。

dchisq() 函數

回傳卡方分布的機率密度值：

> x <- 1:50
> y <- dchisq(x, df = 5)
> plot(x, y, type = "l", ylab = "Probability")

pchisq() 函數

回傳對應輸入的卡方分布累積機率值：

> pchisq(5, df = 5)
[1] 0.5841198

qchisq() 函數

回傳對應累積機率值的卡方分布輸入：

> qchisq(0.58, df = 5)
[1] 4.966356

rchisq() 函數

回傳 n 個符合卡方分布的隨機值：

> x <- rchisq(1000, df = 5)
> hist(x, ylab = "Frequency")